Ký pháp nghịch đảo Ba Lan

Khi lập trình, tính giá trị một biểu thức toán học là điều quá đỗi bình thường. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng (như chương trình vẽ đồ thị hàm số chẳng hạn, trong đó chương trình cho phép người dùng nhập vào hàm số), ta cần phải tính giá trị của một biểu thức được nhập vào từ bàn phím dưới dạng một chuỗi. Với các biểu thức toán học đơn giản (như a+b) thì bạn có thể tự làm bằng các phương pháp tách chuỗi “thủ công”. Nhưng để “giải quyết” các biểu thức có dấu ngoặc, ví dụ như (a+b)*c + (d+e)*f , thì các phương pháp tách chuỗi đơn giản đều không khả thi. Trong tình huống này, ta phải dùng đến Ký Pháp Nghịch Đảo Ba Lan (Reserve Polish Notation – RPN), một thuật toán “kinh điển” trong lĩnh vực trình biên dịch.

Để đơn giản cho việc minh họa, ta giả định rằng chuỗi biểu thức mà ta nhận được từ bàn phím chỉ bao gồm: các dấu mở ngoặc/đóng ngoặc; 4 toán tử cộng, trừ, nhân và chia (+, -, *, /); các toán hạng đều chỉ là các con số nguyên từ 0 đến 9; không có bất kỳ khoảng trắng nào giữa các ký tự.

Thế nào là ký pháp nghịch đảo Ba Lan?

Cách trình bày biểu thức theo cách thông thường tuy tự nhiên với con người nhưng lại khá “khó chịu” đối với máy tính vì nó không thể hiện một cách tường minh quá trình tính toán để đưa ra giá trị của biểu thức. Để đơn giản hóa quá trình tính toán này, ta phải biến đổi lại biểu thức thông thường về dạng hậu tố - postfix (cách gọi ngắn của thuật ngữ ký pháp nghịch đảo Ba Lan). Để phân biệt hai dạng biểu diễn biểu thức, ta gọi cách biểu diễn biểu thức theo cách thông thường là trung tố - infix (vì toán tử nằm ở giữa hai toán hạng).

Ký pháp nghịch đảo Ba Lan được phát minh vào khoảng giữa thập kỷ 1950 bởi Charles Hamblin - một triết học gia và khoa học gia máy tính người Úc - dựa theo công trình về ký pháp Ba Lan của nhà Toán học người Ba Lan Jan Łukasiewicz. Hamblin trình bày nghiên cứu của mình tại một hội nghị khoa học vào tháng 6 năm 1957 và chính thức công bố vào năm 1962.

Từ cái tên hậu tố các bạn cũng đoán ra phần nào là theo cách biểu diễn này, các toán tử sẽ được đặt sau các toán hạng. Cụ thể là biểu thức trung tố: 4+5 sẽ được biểu diễn lại thành 4 5 +.

Quá trình tính toán giá trị của biểu thức hậu tố khá tự nhiên đối với máy tính. Ý tưởng là đọc biểu thức từ trái sang phải, nếu gặp một toán hạng (con số hoặc biến) thì push toán hạng này vào ngăn xếp; nếu gặp toán tử, lấy hai toán hạng ra khỏi ngăn xếp (stack), tính kết quả, đẩy kết quả trở lại ngăn xếp. Khi quá trình kết thúc thì con số cuối cùng còn lại trong ngăn xếp chính là giá trị của biểu thức đó.

Ví dụ: biểu thức trung tố :

5 + ((1 + 2) * 4) + 3

được biểu diễn lại dưới dạng hậu tố là (ta sẽ bàn về thuật toán chuyển đổi từ trung tố sang hậu tố sau):

5 1 2 + 4 * + 3 +

Quá trình tính toán sẽ diễn ra theo như bảng dưới đây:

Ký tự	Thao tác	Trạng thái stack
5	Push 5	5
1	Push 1	5, 1
2	Push 2	5, 1, 2
+	Tính 1 + 2 Push 3	5, 3
4	Push 4	5, 3, 4
*	Tính 3 * 4 Push 12	5, 12
+	Tính 12 + 5 Push 17	17
3	Push 3	17, 3
+	Tính 17 + 3 Push 20	20

Chuyển đổi từ trung tố sang hậu tố

Thuật toán chuyển đổi này được phát minh bởi vị giáo sư người Hà Lan nổi tiếng Edsger Dijkstra (cũng là tác giả của thuật toán tìm đường đi ngắn nhất được đặt theo tên ông và semaphore, một kỹ thuật để đồng bộ các tiến trình trong lập trình đa nhiệm). Thuật toán này cũng dựa theo cơ chế ngăn xếp. Ý tưởng chung của thuật toán cũng là duyệt biểu thức từ trái sang phải:

- Nếu gặp một toán hạng (con số hoặc biến) thì ghi nó vào chuỗi kết quả (chuỗi kết quả là biểu thức trung tố).

- Nếu gặp dấu mở ngoặc, đưa nó vào stack.

- Nếu gặp một toán tử (gọi là o₁ ), thực hiện hai bước sau:

o Chừng nào còn có một toán tử o₂ ở đỉnh ngăn xếp VÀ độ ưu tiên của o₁ nhỏ hơn hay bằng độ ưu tiên của o₂ thì lấy o₂ ra khỏi ngăn xếp và ghi vào kết quả.

o Push o₁ vào ngăn xếp

- Nếu gặp dấu đóng ngoặc thì cứ lấy các toán tử trong ngăn xếp ra và ghi vào kết quả cho đến khi lấy được dấu mở ngoặc ra khỏi ngăn xếp.

- Khi đã duyệt hết biểu thức trung tố, lần lượt lấy tất cả toán hạng (nếu có) từ ngăn xếp ra và ghi vào chuỗi kết quả.

Để dễ hiểu, bạn hãy quan sát quá trình thực thi của thuật toán qua một ví dụ cụ thể sau:

Biểu thức cần chuyển đổi: 3+4*2/(1-5)

Ký tự	Thao tác	Stack	Chuỗi hậu tố
3	Ghi 3 vào k.quả		3
+	Push +	+
4	Ghi 4 vào k.quả		3 4
*	Push *	+ *
2	Ghi 2 vào kquả		3 4 2
/	Lấy * ra khỏi stack, ghi vào k.quả, push /	+ /	3 4 2 *
(	Push (	+ / (	3 4 2 *
1	Ghi 1 vào k.quả	+ / (	3 4 2 * 1
-	Push -	+ / ( -	3 4 2 * 1
5	Ghi 5 vào k.quả	+ / ( -	3 4 2 * 1 5
)	Pop cho đến khi lấy được (, ghi các toán tử pop được ra k.quả	+ /	3 4 2 * 1 5 -
	Pop tất cả các toán tử ra khỏi ngăn xếp và ghi vào kết quả		3 4 2 * 1 5 – / +

Vậy biểu thức hậu tố là: 3 4 2 * 1 5 - / +

Dĩ nhiên là thuật toán được trình bày ở đây là khá đơn giản và chưa ứng dụng được trong trường hợp biểu thức có các hàm như sin, cos,… hoặc có các biến. Tuy nhiên, việc mở rộng thuật toán là hoàn toàn nằm trong khả năng của bạn nếu bạn đã hiểu cặn kẽ thuật toán cơ bản này.